摘要：利用GPS計(jì)算衛(wèi)星位置有兩種方法：其一是從接收機(jī)中獲得衛(wèi)星的廣播星歷，從廣播星歷中提取出有效信息，然后進(jìn)行衛(wèi)星位置的計(jì)算；其二是從相應(yīng)的網(wǎng)站中下載得到衛(wèi)星的精密星歷文件，然后利用拉格朗日插值公式計(jì)算衛(wèi)星位置。由于上述兩種計(jì)算衛(wèi)星位置的方法都存在著一定的缺點(diǎn)，因此本文詳細(xì)介紹了切比雪夫多項(xiàng)式標(biāo)準(zhǔn)化衛(wèi)星軌道的方法。本論文對(duì)上述兩種計(jì)算衛(wèi)星位置的方法進(jìn)行了詳細(xì)探討，并對(duì)切比雪夫多項(xiàng)式標(biāo)準(zhǔn)化衛(wèi)星軌道的方法進(jìn)行了詳細(xì)的闡述。并且通過實(shí)驗(yàn)，對(duì)上述的方法進(jìn)行了檢驗(yàn)，證明上述方法計(jì)算衛(wèi)星位置的可行性。
　　關(guān)鍵詞：GPS；廣播星歷；精密星歷；拉格朗日插值公式；切比雪夫多項(xiàng)式；衛(wèi)星位置
　　前言
　　GPS技術(shù)中的一個(gè)重要內(nèi)容就是精確確定GPS衛(wèi)星軌道。在GPS導(dǎo)航定位中，是將GPS在空中的三維位置作為己知值并廣播給用戶，用戶再根據(jù)所測(cè)得GPS天線至衛(wèi)星的距離才能求得自己所處的位置。因此，精確的軌道信息是導(dǎo)航定位的基礎(chǔ)，而對(duì)于更精密的定位應(yīng)用，則需要更精確的衛(wèi)星軌道。
　　因此，在GPS定位過程中，計(jì)算所需時(shí)刻GPS衛(wèi)星的位置是通過接收到的GPS衛(wèi)星星歷等信息加工和計(jì)算而得到的。而計(jì)算GPS衛(wèi)星位置也貫穿在GPS數(shù)據(jù)處理的始終，具有重要意義。計(jì)算GPS衛(wèi)星位置有兩種方法：利用廣播星歷計(jì)算衛(wèi)星位置；利用精密星歷計(jì)算衛(wèi)星位置。本文將對(duì)兩種計(jì)算衛(wèi)星位置的方法進(jìn)行研究。
　　1利用廣播星歷計(jì)算衛(wèi)星位置公式及簡(jiǎn)化
　　根據(jù)廣播星歷中衛(wèi)星電文提供的軌道參數(shù)按一定的公式可計(jì)算出觀測(cè)瞬間GPS衛(wèi)星在地固系的位置。
　　1）計(jì)算衛(wèi)星運(yùn)行的平均角速度n
　　衛(wèi)星運(yùn)行的平均角速度計(jì)算值
　　（1—1）
　　式中為wGS84坐標(biāo)系中的地球引力常數(shù)，且=3.986005/。平均角速度n。加上衛(wèi)星電文給出的攝動(dòng)改正數(shù)，便得到衛(wèi)星運(yùn)行的平均角速度n:
　　（1—2）
　　2）計(jì)算歸化時(shí)間
　　設(shè)t’為接收機(jī)接收信號(hào)時(shí)刻，為信號(hào)傳播時(shí)間，為衛(wèi)星至接收機(jī)間的距離，c為光速，則衛(wèi)星發(fā)射信號(hào)的時(shí)刻t為:
　　（1—3）（1—4）
　　然后將觀測(cè)時(shí)刻t歸化到GPS時(shí)間系統(tǒng)
　　（1—5）
　　式中稱為相對(duì)于參考時(shí)刻的歸化時(shí)間。在計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意是由每星期歷元(星期六/星期日子夜零點(diǎn))開始計(jì)量的。當(dāng)>302400s時(shí)，應(yīng)減去604800s;當(dāng)<-302400s時(shí)，應(yīng)加上604800s。
　　3）計(jì)算觀測(cè)時(shí)刻的衛(wèi)星平近點(diǎn)角
　　因?yàn)閷?dǎo)航電文中已經(jīng)給出參考時(shí)刻的平近點(diǎn)角，因此
　　（1—6）
　　4）計(jì)算觀測(cè)時(shí)刻的偏近點(diǎn)角
　　根據(jù)衛(wèi)星電文給出的偏心率e和算得的，利用開普勒方程：
　　（1—7）
　　進(jìn)行跌加計(jì)算。
　　解算方法是：首先賦予的初值為=，代入上式解算第一部迭代值。因?yàn)镚PS軌道偏心率較小，約在0.01左右，所以一般兩次迭代就可以計(jì)算出。另外，上述式子中和均以弧度為單位，若以角度為單位則計(jì)算公式如下：
　　（1—8）
　　5）計(jì)算真近點(diǎn)角
　　根據(jù)公式
　　（1—9）
　　則的計(jì)算公式為：
　　（1—10）
　　6）計(jì)算升角距角
　　（1—11）
　　其中為衛(wèi)星星歷中給出的近地點(diǎn)角距。
　　7）計(jì)算攝動(dòng)改正項(xiàng)，，
　　（1—12）
　　為升交距的正余弦調(diào)和改正項(xiàng)振幅，為軌道傾角的正余弦調(diào)和改正項(xiàng)振幅，為軌道半徑的正余弦調(diào)和改正項(xiàng)振幅。，，分別為升交距角的攝動(dòng)量，衛(wèi)星矢徑的攝動(dòng)量和軌道傾角的攝動(dòng)量。
　　8）計(jì)算經(jīng)攝動(dòng)改正的升交距角，衛(wèi)星矢徑和軌道傾角
　　（1—13）
　　9）計(jì)算衛(wèi)星在軌道平面坐標(biāo)系的位置
　　（1—14）
　　10）計(jì)算觀測(cè)時(shí)刻的升交點(diǎn)精度
　　（1—15）
　　其中，，，的值可以從衛(wèi)星電文中提取，為地球自轉(zhuǎn)的角速度，為格林尼治恒星時(shí)。
　　11）計(jì)算衛(wèi)星在WGS—84坐標(biāo)系的位置
　　將衛(wèi)星在軌道平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)（）坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，即可算得觀測(cè)時(shí)刻衛(wèi)星在WGS—84坐標(biāo)系的坐標(biāo):
　　（1—16）
　　將坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)矩陣帶入
　　（1—17）
　　其中為極移改正。
　　2利用精密星歷計(jì)算衛(wèi)星位置公式及簡(jiǎn)化
　　根據(jù)精密星歷提供的數(shù)據(jù)可以借助插值公式，內(nèi)插出任意時(shí)刻(例如觀測(cè)歷元)的衛(wèi)星坐標(biāo)。目前比較常用的是拉格朗日插值公式。設(shè)在時(shí)間軸的n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)上的衛(wèi)星坐標(biāo)(x分量)為
　　•••
　　•••
　　則在任意時(shí)刻t的函數(shù)值的插值公式是
　　ji（2—1）
　　對(duì)于等間距的形式
　　（2—2）
　　令
　　則式（2—1）可以改寫為（2—3）
　　同理，對(duì)于衛(wèi)星坐標(biāo)的y，z分量，分別有
　　（3—21）
　　（3—22）
　　3利用切比雪夫多項(xiàng)式標(biāo)準(zhǔn)化衛(wèi)星軌道公式及簡(jiǎn)化
　　假定在時(shí)間間隔t[,+]的衛(wèi)星星歷用n階切比雪夫多項(xiàng)式逼近(標(biāo)準(zhǔn)化)，其中和分別為開始?xì)v元和擬合時(shí)間區(qū)間的長(zhǎng)度。為了用切比雪夫多項(xiàng)式來標(biāo)準(zhǔn)化衛(wèi)星軌道，首先應(yīng)將時(shí)間t[,+]變換成t[-1,1]：
　　,t[,+]（3—1）
　　則衛(wèi)星坐標(biāo)x，y，z分量可用如下n階切比雪夫多項(xiàng)式表示:
　　（3—2）
　　其中，n為切比雪夫多項(xiàng)式的階數(shù)，分別為x坐標(biāo)分量，y坐標(biāo)分量，z坐標(biāo)分量切比雪夫多項(xiàng)式系數(shù)。切比雪夫多項(xiàng)式用下面的遞推公式得到：
　　（3—3）
　　根據(jù)已知的星歷文件提供的信息，如果是廣播星歷，則利用廣播星歷參數(shù)應(yīng)用第一種方法計(jì)算（k=1，2，3，•••，m，mn+1，n為選定的多項(xiàng)式階數(shù)）時(shí)刻的衛(wèi)星位置（），組成坐標(biāo)文件。如果星歷文件為精密星歷，則要分兩種情況考慮(設(shè)m為等間隔記錄有衛(wèi)星坐標(biāo)的歷元數(shù)):
　　①當(dāng)mn+1時(shí)，可以將其視為應(yīng)用廣播星歷計(jì)算得出的衛(wèi)星坐標(biāo)文件;
　　②當(dāng)m<n+1時(shí)，對(duì)精密星歷提供的坐標(biāo)數(shù)據(jù)運(yùn)用拉格朗日時(shí)間多項(xiàng)式進(jìn)行內(nèi)插，至少內(nèi)插n-m+1個(gè)時(shí)刻的衛(wèi)星坐標(biāo)，內(nèi)插數(shù)據(jù)與精密星歷提供的坐標(biāo)數(shù)據(jù)一起組成軌道標(biāo)準(zhǔn)化所需的衛(wèi)星坐標(biāo)文件。
　　為了便于后述步驟的說明，僅以x分量為例加以說明。
　　將（k=1，2，3，•••，m，mn+1）視為觀測(cè)值，列出m個(gè)誤差方程：
　　(k=1,2,3,•••，m)（3—4）
　　其中和的關(guān)系式如式（2—30）所示，的形式如式（2—31）所示，則誤差方程的矩陣展開式為：
　　（3—5）
　　令
　　（3—6）
　　（3—7）
　　則有簡(jiǎn)化的矩陣表達(dá)式
　　（3—8）
　　應(yīng)用最小二乘平差法中的間接平差，可以得出法方程為
　　（3—9）
　　則關(guān)于x分量的切比雪夫多項(xiàng)式擬合系數(shù)為
　　（3—10）
　　至此，X各個(gè)分量便為切比雪夫多項(xiàng)式擬合系數(shù)。同理，對(duì)y，z分量完成上述類似的計(jì)算便可以得到關(guān)于某一GPS衛(wèi)星在[,+]時(shí)間區(qū)間內(nèi)各坐標(biāo)分量的切比雪夫多項(xiàng)式擬合系數(shù)（i=0，1，2，3•••，n），將（i=0，1，2，3•••，n）記入標(biāo)準(zhǔn)化星歷文件，便可以利用這些系數(shù)并估計(jì)上述公式計(jì)算出[,+]時(shí)間區(qū)間內(nèi)任意時(shí)刻的衛(wèi)星坐標(biāo)。
　　4實(shí)例分析
　　為了探討切比雪夫多項(xiàng)式的次數(shù)與擬合精度的關(guān)系，做了如下實(shí)驗(yàn)。多項(xiàng)式的次數(shù)與擬合標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系如表1所示:
　　表1切比雪夫次數(shù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果
　　切比雪夫多項(xiàng)式次數(shù) x分量擬合中誤差（mm） y分量擬合中誤差（mm） z分量擬合中誤差（mm）
　　5 1998.551 1859.442 856.892
　　6 48.898 57.704 16.643
　　7 1.728 1.991 0.265
　　8 4.47E-02 2.368E-02 1.334E-02
　　9 2.95E-04 1.073E-03 3.543E-05
　　10 1.15E-05 1.217E-06 1.185E-05
　　11 3.325E-06 3.020E-07 6.078E-06
　　12 2.271E-06 0.087E-07 2.342E-06
　　13 3.322E-06 2.183E-07 2.556E-06
　　14 3.124E-05 7.983E-06 5.589E-06
　　15 4.639E-05 2.341E-04 5.760E-05
　　由表1可知，在一定的范圍內(nèi)，多項(xiàng)式次數(shù)取得越高，擬合精度越高。但是超出一定的范圍后，多項(xiàng)式次數(shù)越高，擬合效果反而越差。
　　為了驗(yàn)證衛(wèi)星位置的計(jì)算原理。本文用美國(guó)加洲7dom0010測(cè)站2004年1月1日的廣播星歷直接計(jì)算出了衛(wèi)星位置，同時(shí)用8階切比雪夫多項(xiàng)式擬合了IGS網(wǎng)站提供的2004年1月1日0時(shí)—3時(shí)的精密星歷文件。計(jì)算結(jié)果如表2所示:
　　表2衛(wèi)星位置計(jì)算結(jié)果
　　發(fā)射時(shí)刻 衛(wèi)星號(hào) 坐標(biāo) 廣播星歷結(jié)果 精密星歷結(jié)果
　　33345599.932 5 X -13174602.250 -13174601.192
　　  Y -21118643.979 -21118646.528
　　  Z 9378185.387 9378184.525
　　33345659.932 5 X -13176116.10 -13176114.946
　　  Y -21192873.994 -21192876.759
　　  Z 9210300.257 9210299.234
　　5結(jié)論
　　本文主要研究了利用廣播星歷和精密星歷進(jìn)行衛(wèi)星位置計(jì)算和利用切比雪夫多項(xiàng)式標(biāo)準(zhǔn)化衛(wèi)星軌道的方法及軟件實(shí)現(xiàn)。通過上述的實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析可以得出結(jié)論：在本程序中，在本程序中，無論利用廣播星歷還是利用精密星歷計(jì)算出的衛(wèi)星位置，都能夠滿足精度的要求。對(duì)于上述的衛(wèi)星位置計(jì)算和衛(wèi)星軌道標(biāo)準(zhǔn)化方法，有下面幾點(diǎn)注意：
　　（1）在應(yīng)用拉格朗日插值多項(xiàng)式對(duì)精密星歷進(jìn)行所需時(shí)刻的插值計(jì)算時(shí)，由于多項(xiàng)式階數(shù)不能取得太高，在一個(gè)觀測(cè)時(shí)間跨度較大的觀測(cè)時(shí)段內(nèi)，不能將觀測(cè)時(shí)段內(nèi)精密星歷中的所有數(shù)據(jù)用于插值計(jì)算，而只是部分的數(shù)據(jù)參與了運(yùn)算，這就白白浪費(fèi)了一些有用信息。
　　（2）在利用切比雪夫多項(xiàng)式標(biāo)準(zhǔn)化衛(wèi)星軌道的過程中，在一定的范圍內(nèi)，多項(xiàng)式次數(shù)取得越高，擬合精度越高。但是超出一定的范圍后，多項(xiàng)式次數(shù)越高，擬合效果反而越差(雖然擬合的精度還是很高，但對(duì)于節(jié)省計(jì)算量、節(jié)省系數(shù)存儲(chǔ)空間來說，多項(xiàng)式次數(shù)取得高，擬合結(jié)果精度反而下降是不可取的。)。
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